源氏香の組合せ(数学)

問題:江戸時代、何人かで集まり香を聞いて(嗅いで)当てるあそびが流行した。その代表である「源氏香」は次のようなものである。

  5種類ある香から重複を許して5回分を選び(5種×5包の25包みをあらかじめ用意しておき、それらの香から5包みを選び、)ひと包みづつ順に5回たき、終了後に、5回のうち同じ香はどれとどれであったか当てるゲームである。解答者は、嗅覚の記憶をたどって、解答用紙に五本の縦線を書き、同じ香だったものの上部をつなぐ。例は下の図のようになる。同じ香が何回目と何回目であったかを問うだけで香の種類などは問わない。
  さて、解答の組合せは何通りとなるか答えよ。

 


 (右から順にかぞえる。2回目と3回目が同じ香で、他はそれぞれ別の香の場合。4種類の香を使った。)この順番を源氏物語五十四帖になぞらえた源氏香名は「夕顔」


 (1,2,3回目が同じ香で、4、5回目が同じ香。2種類の香を使った)「玉鬘」
 (2、4回目が同じ香、3,5回目が同じ香。1回目が単独。3種類の香を使った)「初音」

源氏物語・試験に出ない古文 目次

解答:

香の種類によって場合分けをする。考え方。「同じ香が出てきた場所(回)を問う」のだから、「同じ香を結ぶ線のつなぎ方」つまり図形の種類だけを考えればよいことになる。

1、香が一種類の場合 5回とも同じだから、(TTTTT)の形で1通り・・・(香の種類は問わないので、5種類のどの香でもいい)
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2、香が五種類の場合 5回とも別だから、「 I I I I I(1+1+1+1+1)」の形で1通り・・・ (香の種類は考えないので、5種類が別々とわかればいい)

3、香が二種類の場合 

A 1+4 1回だけ異なり、他の4回は同じ香だった場合。 5回のうちの1回を選ぶから、5通り・・・(4本つながった TTTT 図中に単独の I が入る場所は5通り)

B 2+3 2回同じで、残りの3回が同じ場合。(上の「玉鬘」の例がそれに当たる)

5回の中から2回(または3回)を選ぶ場合の数である。 5C25C3=10通り・・・
(五本の中から二本(または三本)のIを選ぶ組合せ)
書き上げてみると分かりやすい。(下図参照)この書き上げは、4のBにも5にも応用できる。

4、香が三種類の場合

A 1+2+2の場合、つまり二種類が2回ずつと、単独が一回(上の「初音」がその例)

単独のIを置く場所が5通り、残りの4箇所から二つを選ぶの方法は 4C2=6通りだが2:2で同じものが重複するので、2で割り3通りとなる。 5×3=15通り・・・
 (または 同じものを含む場合の順列、5つのうちから2つえらび、残りの3から2を選び、種類を区別しないので2で割る 5C2×3C2/2=15通り )

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┃┃┃┃ ┃┃┃┃ ┃┃┃┃  4本を2と2に分ける組合せは左の3種類。その図に I がどこかに入り5本線となる。

B 1+1+3の場合、つまり一種類を3回たき、残りの2回がそれぞれ別。

5回の中から3回を選ぶ組合せ。3のBと同じ考え方で 5C25C3=10通り・・・

5、香が四種類の場合 1+1+1+2 つまり一種類の香のみ2回たく場合(上の「夕顔」の例)

5つの中から2つを選ぶ組合せ。3のBと同じ考え方で 5C25C3=10通り・・・

 

これらは同時には起こらないから、場合の数は1+1+5+10+15+10+10=52 答え 52通り

 

3Bの場合の書き出しは次の通り。二本組の線がつないでなく離れていれば4Bの場合で、三本組の線の方が離れていれば5の場合となる。

                                                                                                                                                
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別解: あるかなあ  参考-ベル数 

 

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