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差集めか比か



【問題】

平らな正方形の土地に支柱を立ててサクを設置し、牧草地にして牛を話すことにしました。
支柱を何メートルおきに立てるかを決めるため、まずは正方形の土地の一辺のためだけに使う支柱を準備しました。一辺の端から端まで、支柱を5mおきに立てようとしたところ37本不足しました。また、8mおきに立てたら23本余りました。支柱を何本用意したかを答えなさい。(北嶺中算数 2015平成27年)
  




 設問の文面を見ると、「不足しました、余りました」とあるのが目に入るので、まずは、差集め・過不足算系の問題かと考えるだろう。


 なにはともあれ、図を書いてみよう。

 

 

【解法1 差集め算(過不足算)】



 うーん。37本と23本をどう使うのか。とりあえず、これらも並べてみると、下の図のようになる。

 「37本不足」というのは5mおきに並べるのが前提だし、8mの余った分も8mおきに並べてみる。  

 並べることで、本数と距離とが別の次元であることに気づく。ここで混乱すると、距離と本数を足し算するような式を作ってしまう。

 総本数(ではなくて実は間隔の数)が5mおきと8mおきに並んでいることがわかる。また不足分もあるので記入。

 植木算は間隔の数で計算する。でも、ここでは本数と書いておく。一番左の一本を除いておき最後に加えるでもよろしい。

 本数×間隔の5mまたは8mで距離なので、分かるところを式で記入。



一つの間隔の5mを8mに3mずつ延ばした

その差が集まって、

全体の差をつくった。

これが差集め算。

【線分図】

 ここで、8mおきに全部並べた時と、5mおきに全部並べた時の差、全体の差は赤字の部分(8-5)×総本数で、図より(37×5)+(23×8)mと等しくなる。 上の図を手早く線分図で書くという定石がある。



各3mずつ延ばして全体の差になるのだから、
総本(間隔)数=(5×37+8×23)÷3
総本(間隔)数=123、よって植木算の1を加え支柱の本数は124本

【方程式】

差集め算は中学校で方程式の単元でも習うが、結構難度が高い。図を書かないとプラスとマイナスを取り違えたりしそうだ。しかし、方程式的な式の感覚で解くのは中学受験の小学生にとっても役に立つことがあるといえる。
(総本数ー1)の間隔数をxとおき正方形の一辺についての等式であらわすと
 5×(x+37)=8×(x-23)
これを展開したのが上と同じ式
5×x+5×37=8×xー8×23

【面積図】

差集算で面積図を使うのはいまいちな気がする。

長方形の面積は縦×横(ここでは間隔の距離と間隔の数の積が総距離となる)で表されるものを計算するのに都合がよい。江戸時代から使われてきた。



【差集の図】

 昔から有名な典型題「長椅子に5人ずつ座ったら・・・8人ずつ座ったら・・・」とくらべてみると、8人ずつ座ると席が余り、5人ずつだと不足するはずなので、今回とちょうど同じになる。また、今回は「最後の椅子には2人が座る」というような「端数」や「あまり」が出現してないのもポイント。もし、端数があったら、面積図や線分図もめんどくさいことになる。そこで、端数がでても対応できるのが原始的な「絵」で書く解法。

 「長椅子に5人づつ座ったら、席が37席不足した、また8人ずつ座ったら23席余った。」

赤線より左の各3人の差が集まって赤線より右の5人×(23+37)席となるので、(23+37)×5÷3 が赤線左の8人が座っている席数、これに23を加えると答え123席とわかる。そして、植木算の1を加える。

※これは実は下の「差の面積図」と同じものであり解法2の考え方といえる。

【解法2 着眼を変えて】


 典型題「池の周りにクイを打ちます。5mおきに打つのと8mおきに打つのでは60本の差があります」

実際に存在している支柱が足りていても余っていても関係なく、差がわかれば答えが出るのだ。


【差の面積図】

問題は池ではないが、上で解いてきたややこしさがなく、その差は37+23の60本である。


ふたつの長方形の面積は(支柱間の距離×支柱の本数)つまり正方形の1辺の距離で、5本おきと8本おきのそれぞれを表したものなので、青の部分は同じ面積60×5。
つまり5×60=3×xよりx=100

8mおきだと100本、5mおきだと160本と分かる。一辺の長さは800m

 よって、100+23または160-37の答え123に植木算の1を加えて答124本

【解法3 比・公倍数】



【逆比】

 5m置きと8m置きでは、同じ長さの区間だと、使う支柱の(間の)数は逆比なので(反比例していて)、⑧:⑤となる。

そして、数の差が60本である。

ということは、⑧-⑤=③が60本にあたるので、比の①は20本、だから比の⑧(5mおきの場合)は160本、比の⑤(8m置きの場合)は100本となる。(一辺の長さは5×160=8×100=800m。)

 よって、100+23または160-37の答え123間隔に一番端の柵の1を加えて答124本

※逆比の説明。区間の長さを仮に40と固定すると、5m置きは8本(間隔)使い、8m置きは5本使うから。8×5=5×8、一方が2倍3倍になれば、もう一方は1/2、1/3になる。反比例(逆比例)しているを省略して逆比と呼ぶ。5:8の逆比は1/5:1/8=8:5


【反比例の公式から】
支柱ひとつの間隔が2倍、3倍になれば、支柱の本数は1/2、1/3となる。
ひとつの間隔×間隔数=区間の長さ、つまり「積が一定」で、1間隔と間隔数が反比例している。この「積が一定の定数をa(一辺の長さは未知だが決まっているので定数)」とおく反比例の公式
xy=aで(掛け算の×記号を省略すると大人っぽく見えるぞ)、aが40ではなく未知の正方形の一辺の距離(m)、x、yは変数でxをそれぞれの1間隔(m)、yを(8mおきの)間隔数(本)とおくと
5(y+60)=8y=a
のような式になる。この方程式を面積図にしたものが、解法2の図になる。



【公倍数】

 端数がないということは、8mでも5mでも正方形1辺のはしから端まで余りなく並ぶということだ。下の図のように公倍数40mごとに重なるので、正方形の一辺の長さは40の倍数である。



 この40メートルの1セットで5mと8mとの本数(間の数)の数の差は3である。

全体の本数の差は37+23の60本差であった。だから、正方形の一辺は60÷3の20セット分、800mとなる。以下同文。

【1とおく】

正方形の一片の距離を1とおくと支柱の数は1/5、1/8。(1じゃなくて40とかならわかりやすいか)
60:(1/5-1/8)=x:1
60 ÷( 1/5 ー 1/8 )=800

【解法4 比例のグラフ】


 とくに解法2・3では、目に見えない柵も含めての差を考えるという点で、理解しにくい場合があるかもしれない。2つの次元をまとめる目的といえばグラフだ。「支柱の間隔の数」と「距離」は比例しているのでグラフが直線である。縦の次元が解法1であり、横に切った次元が解法2である。

 「速さと比」と同じことで、距離が等しい時、速さが5:8ならば、かかる時間は 1/5:1/8 つまり8:5になる。今回はこの差の③が60本だと判明していることになる。



x軸方向で考えると xを存在している柵の数とおき、正方形の1辺のy座標が共通だから

5(x+37)=8(xー23)=正方形の1辺

また、y軸方向で考えると、第一に、縦でも同じように比で解ける。
第二に方程式を作るとすると、